벡터와 메트릭스 ( Vectors and Matrices )

스칼라, 벡터(Scalar, Vector)

스칼라는 방향은 없고 크기만 있고, 벡터는 크기와 방향 모두 있습니다.

예를 들어 $\vec{a} = 2\vec{x} + 3\vec{y}$ 가 있다고 합시다.

여기서 벡터$\vec{a}$는 스칼라2와 단위벡터$\vec{x}$의 곱과 스칼라3과 단위벡터 $\vec{y}$의 곱을 더해준 벡터입니다.

 

벡터(vector)

벡터는 위의 그림처럼 알파벳 위에 화살표로 표현할 수 있습니다.

이 경우 왼쪽부터 2,3,1,4차원의 벡터입니다.

 

벡터의 크기 (Magnitude, Norm, Length)

벡터는 선이기 때문에 피타고라스 정리에 의하면

벡터의 크기는 모든 원소(스칼라)들의 제곱을 더해준 것에 루트를 씌운 것입니다.

표현은 ||으로 나타냅니다.

$\vec{b} = [-4, 7, 1]$

$||\vec{b}|| = \sqrt{(-4)^{2} + 7^{2} + 1^{2}}$

$||\vec{b}|| = \sqrt{66}$

 

벡터의 크기는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. $||\vec{x}|| \geq 0$

2. 모든 원소(스칼라)가 0인 경우 $||\vec{x}|| = 0$

3. 삼각 부등식 : $||\vec{x} + \vec{y}|| \leq ||\vec{x}|| + ||\vec{y}||$

 

벡터의 내적 ( Dot Product )

벡터의 내적은 두 벡터의 각 구성요소를 곱한 뒤 더해준 것입니다.

$\vec{a} = [1,2,3]$

$\vec{b} = [4,5,6]$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot4 + 2\cdot5 + 3\cdot6$

           $= 32$

 

벡터의 내적은 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 교환법칙 : $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

2. 분배법칙 : $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

3. 두 벡터의 길이가 동일

 

매트릭스(Matrices)

매트릭스는 행과 열을 통해 배치되어있는 숫자들입니다.

매트릭스의 일치

2개의 매트릭스가 일치하기 위해서는  다음 조건을 만족해야 합니다.

1. 동일한 차원을 보유

2. 각 해당하는 구성요소들이 동일

Dimensionality(차원)

매트릭스의 행과 열의 숫자를 차원이라고 합니다.

예를들어 위의 $Y$행렬은 2x3차원이라고 합니다.

 

Matrix multiplication(행렬 곱)

 

Transpose(전치)

매트릭스의 전치는, 행과 열을 바꾸는 것을 의미합니다.

대각선 부분의 구성요소를 고정시키고 이를 기준으로 나머지 구성요소들을 뒤집는다라고 생각하면 됩니다.

이는 일반적으로 매트릭스 우측 상단에 $T$ 혹은 tick 마크를 통해 표기 됩니다.

$Y^{T} or ~Y^{'}$

 

$Y = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

$Y^{T} = \begin{bmatrix}1 & 4 \\2 & 5 \\3 & 6 \end{bmatrix}$

 

정사각 매트릭스(square matrix)

행과 열의 개수가 같은 매트릭스입니다.

정사각 매트릭스에는 특별한 케이스가 있습니다.

1. Diagonal (대각): 대각선 부분에만 값이 있고, 나머지는 전부 0입니다.

2. Upper Triangular (상삼각): 대각선 위쪽 부분에만 값이 있고, 나머지는 전부 0입니다.

3. Lower Triangular (하삼각): upper triangular 와 반대로, 대각선 아래에만 값이 있습니다.

4. Symmetric (대칭): 대각선을 기준으로 위 아래의 값이 대칭인 경우 입니다.

5. Identity (단위 행렬): 대각선 부분이 1이고, 나머지는 전부 0입니다.

단위 행렬은 &I$로 표시하면 다음과 같은 특징이 있습니다.

1. 행렬$A$에 대하여 $AI = A$

2. 행렬$A$에 대하여 $AA^{-1} = I$($A^{-1}$은 $A$의 역행렬)

 

Determinant(행렬식)

행렬식은 모든 정사각 매트릭스가 갖는 속성으로, $det(A)$ 혹은 $|A|$로 표기 됩니다.

$A = \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$

$det(A) = ad - bc$

$det$는 역행렬을 구할 때 사용됩니다.

더 큰 차원의 매트릭스의 행렬식은 재귀적으로 부분을 이루는 행렬식을 구하는 것으로 계산 할 수 있습니다.

행렬식이 0이라면?

행렬식이 0인 정사각 매트릭스는 특이(singular) 매트릭스라고 불리기도 합니다.

이들은 2개의 행 혹은 열이 선형의 관계를 이루고 있을때 발생합니다.

또 다른 말로는,

매트릭스의 행과 열이 선형의 의존 관계가 있는 경우 매트릭스의 행렬식은 0이라고 할 수 있습니다.

 

Inverse(역행렬)

역행렬은 행렬의 역수와 같이 표현 할 수 있습니다.

매트릭스에 그 역행렬을 곱하면 단위 행렬가 됩니다.